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单条件牛吃草问题解答

Synopsis

单条件的牛吃草,还是能用方程组解出来的。

客户说他女儿上奥数班,3年级的题目列方程组都解不出来……我让他举个例子。他说:牛吃草问题……

我个人觉得他肯定是把女儿的题目给记错了,网上小学奥数的牛吃草都是起码两个以上条件的,没这种单条件的。
但单条件的牛吃草,也还是能用方程组解出来的。下面罗列一下解题过程。


【题目】
一片草地,草匀速生长。3头牛10天正好吃完,问要5天正好吃完,需要几头牛?

【解答】
设草地初始草量为A,草地每日生长草量为B,每头牛每日食用草量为G。
设问题所求牛数量为C。

根据3头牛10天吃完该片草地草量条件,得:3x10xG = 10xB + A;<等式1>
根据C头牛5天吃完该片草地草量条件,得:5xCxG = 5xB + A;<等式2>

<等式1>/<等式2>:30G/5CG =(10B + A)/(5B + A)
B = [(C - 6)/(30 - 10C)]A;<等式3>


有鉴于题目中未注明草存在枯萎情况,故假定B>=0;<假设1>
<假设1>条件下,根据A进行分情况讨论。

#1 当A>0时,因为B>=0,且除数不为0,所以
       #1-1        C-6>=0 and 30-10C>0,得 C>=6 and C<3,矛盾。
       #1-2        C-6<=0 and 30-10C<0,得 3<C<=6。
       由于活牛不存在非整数头情况,故C为正整数,得C=4,5,6。<解1>
       将<解1>代入<等式3>可得:
              当C=4时,B=1/5A;
              当C=5时,B=1/20A;
              当C=6时,B=0,即草没有长。

#2 当A=0时,即该片草地初始无草,牛每日所食草量为草地生长。
       根据<等式1> B=3G,即每日生长草量为3头牛每日食量。由于3头牛正好可每日食完当日所长草量,则无论多少天,3头牛均可食完当日所长草量。得C=3。<解2>


假设草生长速度不及枯萎速度,则B<0;<假设2>
<假设2>条件下,根据A进行分情况讨论。

#3 当A>0时,因为B<0,且除数不为0,所以
       #3-1        C-6>0 and 30-10C<0,得 C>6 and C>3,综合C>6,且C为整数。<解3>
              根据<等式1>和<等式2>可得:
              B=(6-C)G,即枯萎速度为每日(C-6)头牛的草量。
       #3-2        C-6<0 and 30-10C>0,得C<6 and C<3,综合C<3。
       由于活牛不存在非整数头情况,故C为正整数,得C=1,2,3。<临时解1>

       由<等式1>可得:G=(10B+A)/30。由于牛无法产生草,故G>=0(G=0为牛不吃草),得:10B+A>=0,B>=-1/10A。<不等式1>
将<临时解1>代入<等式3>可得:
              当C=1时,B=-1/2A;与<不等式1>矛盾。
              当C=2时,B=-2/5A;与<不等式1>矛盾。
              当C=3时,除数为0,无法计算。
       所以,<临时解1>不成立。

#4 当A=0时,没有初始草量,当B枯萎速度无法大于生长速度。因此B<0,条件不成立。

 

综上,本题解为:

       当该片草地有初始草量的情况下,
              草地每日生长草量为1/5初始草量时,4头牛可在5天吃完;
              草地每日生长草量为1/20初始草量时,5头牛可在5天吃完;
              草并不生长时,6头牛可在5天吃完;

       当该片草地没有初始草量的情况下,
              3头牛每日食完当日草地生长草量,符合5天吃完的要求;

       当该片草地的枯萎速度大于生长速度,且这个枯萎速度小于初始草量的1/10时,本题所求牛头数为自7开始的正整数,即C>6, and C∈N(如:7,8,9…)。而枯萎速度为每日(C-6)头牛的草量。

 

——END ——

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  • 作品:数学题库
  • 状态:连载中
  • 类型:原创-其他
  • tag:数学
  • 发布时间:2016-09-29 14:00:21

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