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单条件的牛吃草,还是能用方程组解出来的。
客户说他女儿上奥数班,3年级的题目列方程组都解不出来……我让他举个例子。他说:牛吃草问题……
我个人觉得他肯定是把女儿的题目给记错了,网上小学奥数的牛吃草都是起码两个以上条件的,没这种单条件的。
但单条件的牛吃草,也还是能用方程组解出来的。下面罗列一下解题过程。
【题目】
一片草地,草匀速生长。3头牛10天正好吃完,问要5天正好吃完,需要几头牛?
【解答】
设草地初始草量为A,草地每日生长草量为B,每头牛每日食用草量为G。
设问题所求牛数量为C。
根据3头牛10天吃完该片草地草量条件,得:3x10xG = 10xB + A;<等式1>
根据C头牛5天吃完该片草地草量条件,得:5xCxG = 5xB + A;<等式2>
<等式1>/<等式2>:30G/5CG =(10B + A)/(5B + A)
B = [(C - 6)/(30 - 10C)]A;<等式3>
有鉴于题目中未注明草存在枯萎情况,故假定B>=0;<假设1>
<假设1>条件下,根据A进行分情况讨论。
#1 当A>0时,因为B>=0,且除数不为0,所以
#1-1 C-6>=0 and 30-10C>0,得 C>=6 and C<3,矛盾。
#1-2 C-6<=0 and 30-10C<0,得 3<C<=6。
由于活牛不存在非整数头情况,故C为正整数,得C=4,5,6。<解1>
将<解1>代入<等式3>可得:
当C=4时,B=1/5A;
当C=5时,B=1/20A;
当C=6时,B=0,即草没有长。
#2 当A=0时,即该片草地初始无草,牛每日所食草量为草地生长。
根据<等式1> B=3G,即每日生长草量为3头牛每日食量。由于3头牛正好可每日食完当日所长草量,则无论多少天,3头牛均可食完当日所长草量。得C=3。<解2>
假设草生长速度不及枯萎速度,则B<0;<假设2>
<假设2>条件下,根据A进行分情况讨论。
#3 当A>0时,因为B<0,且除数不为0,所以
#3-1 C-6>0 and 30-10C<0,得 C>6 and C>3,综合C>6,且C为整数。<解3>
根据<等式1>和<等式2>可得:
B=(6-C)G,即枯萎速度为每日(C-6)头牛的草量。
#3-2 C-6<0 and 30-10C>0,得C<6 and C<3,综合C<3。
由于活牛不存在非整数头情况,故C为正整数,得C=1,2,3。<临时解1>
由<等式1>可得:G=(10B+A)/30。由于牛无法产生草,故G>=0(G=0为牛不吃草),得:10B+A>=0,B>=-1/10A。<不等式1>
将<临时解1>代入<等式3>可得:
当C=1时,B=-1/2A;与<不等式1>矛盾。
当C=2时,B=-2/5A;与<不等式1>矛盾。
当C=3时,除数为0,无法计算。
所以,<临时解1>不成立。
#4 当A=0时,没有初始草量,当B枯萎速度无法大于生长速度。因此B<0,条件不成立。
综上,本题解为:
当该片草地有初始草量的情况下,
草地每日生长草量为1/5初始草量时,4头牛可在5天吃完;
草地每日生长草量为1/20初始草量时,5头牛可在5天吃完;
草并不生长时,6头牛可在5天吃完;
当该片草地没有初始草量的情况下,
3头牛每日食完当日草地生长草量,符合5天吃完的要求;
当该片草地的枯萎速度大于生长速度,且这个枯萎速度小于初始草量的1/10时,本题所求牛头数为自7开始的正整数,即C>6, and C∈N(如:7,8,9…)。而枯萎速度为每日(C-6)头牛的草量。
——END ——